Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem \left ( x + 1 \right ) \frac{dy}{dx} + 2 y = x

y=\frac{2x^{3}+3x^{2}+C}{6x^{2}+12x+6},C \in \mathbb{R}

Pergunta :

( x + 1 ) fracdydx + 2 y = x

y = \frac{2 x ^{3} + 3 x ^{2} + C}{6 x ^{2} + 12 x + 6}, C \in R

Calcule

(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = x

Multiplique os dois lados

((x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y) \times \frac{1}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Aplicar a propriedade distributiva

(x + 1) \frac{d y}{d x} \times \frac{1}{x + 1} + 2 y \times \frac{1}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Multiplique os termos

\frac{d y}{d x} + 2 y \times \frac{1}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Multiplique os termos

\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Multiplique os termos

\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}

Reescrever a expressão

\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} \times y = \frac{x}{x + 1}

Como a equa \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o est \overset{a}{ˊ} escrita na forma padr \overset{a}{˜} o, determine as fun \overset{c}{¸} \overset{o}{˜} es P (x) e Q (x)

P (x) = \frac{2}{x + 1} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Insira a fun \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o P (x) = \frac{2}{x + 1} na f \overset{o}{ˊ} rmula do fator de integra \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o u (x)

u (x) = e^{\int \frac{2}{x + 1} d x} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Avalie o integral

Mais Passos

u (x) = e^{2 l n (x + 1)} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Reescrever a expressão

Mais Passos

u (x) = (x + 1)^{2} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Insira o fator de integra \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o u (x) e a fun \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o Q (x) na f \overset{o}{ˊ} rmula da solu \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o geral

y = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \times \int \frac{x}{x + 1} \times (x + 1)^{2} d x

Calcular

Mais Passos

y = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \times (\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + C), C \in R

Calcular

Mais Passos

y = \frac{2 x ^{3} + 3 x ^{2} + C}{6 ( x + 1 ) ^{2}}, C \in R

Solução

Mais Passos

y = \frac{2 x ^{3} + 3 x ^{2} + C}{6 x ^{2} + 12 x + 6}, C \in R

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