Pergunta :
sum _n=1^infinity frac(-1)^nln n+1
Determine a convergência ou divergência
Converges
Calcule
n=1∑+∞ln(n)+1(−1)n
Encontre o limite
n→+∞lim(ln(n)+1(−1)n)
Remova as barras de valor absoluto
n→+∞lim(ln(n)+11)
Reescrever a expressão
limn→+∞(ln(n)+1)1
Calcular
Mais Passos
Calcule
n→+∞lim(ln(n)+1)
Reescrever a expressão
n→+∞lim(ln(n))+n→+∞lim(1)
Calcular
Mais Passos
Calcule
n→+∞lim(ln(n))
Reescrever a expressão
ln(n→+∞lim(n))
Calcular
ln(+∞)
Calcular
+∞
(+∞)+n→+∞lim(1)
Calcular
(+∞)+1
Calcular
+∞
+∞1
Calcular
0
Reescrever a expressão
−ln(n+1)+1ln(n)+1>−1
Altere os sinais em ambos os lados da desigualdade e inverta o sinal de desigualdade
ln(n+1)+1ln(n)+1<1
Calcular
ln(n+1)+1ln(n)+1−1<0
Calcular
Mais Passos
Calcular
ln(n+1)+1ln(n)+1−1
Reduza as frações a um denominador comum
ln(n+1)+1ln(n)+1−ln(n+1)+1ln(n+1)+1
Escreva todos os numeradores acima do denominador comum
ln(n+1)+1ln(n)+1−(ln(n+1)+1)
Calcular a soma ou diferença
Mais Passos
Calcule
ln(n)+1−(ln(n+1)+1)
Se um sinal negativo ou um símbolo de subtração aparecer fora dos parênteses, remova os parênteses e altere o sinal de cada termo dentro dos parênteses
ln(n)+1−ln(n+1)−1
Use logax−logay=logayx para transformar a expressa˜o
ln(n+1n)+1−1
Como dois opostos somam 0, remova-os da expressão
ln(n+1n)
ln(n+1)+1ln(n+1n)
ln(n+1)+1ln(n+1n)<0
Separe a desigualdade em 2 casos possıˊveis
{ln(n+1n)>0ln(n+1)+1<0{ln(n+1n)<0ln(n+1)+1>0
Resolva a desigualdade
Mais Passos
Calcule
ln(n+1n)>0
Para e>1 a expressa˜o ln(n+1n)>0 eˊ equivalente a n+1n>e0
n+1n>e0
Calcular a potência
n+1n>1
Calcular
n+1n−1>0
Calcular
Mais Passos
Calcular
n+1n−1
Reduza as frações a um denominador comum
n+1n−n+1n+1
Escreva todos os numeradores acima do denominador comum
n+1n−(n+1)
Subtraia os termos
n+1−1
Use b−a=−ba=−ba para reescrever a frac¸a˜o
−n+11
−n+11>0
Altere os sinais em ambos os lados da desigualdade e inverta o sinal de desigualdade
n+11<0
Reescrever a expressão
n+1<0
Mova a constante para o lado direito
n<0−1
Remover 0 não altera o valor, portanto, remova-o da expressão
n<−1
{n<−1ln(n+1)+1<0{ln(n+1n)<0ln(n+1)+1>0
Resolva a desigualdade
Mais Passos
Calcule
ln(n+1)+1<0
Adicionar ou subtrair ambos os lados
ln(n+1)<0−1
Calcular
ln(n+1)<−1
Para e>1 a expressa˜o ln(n+1)<−1 eˊ equivalente a n+1<e−1
n+1<e−1
Calcular a potência
n+1<e1
Mova a constante para o lado direito
n<e1−1
Subtraia os números
Mais Passos
Calcule
e1−1
Reduza as frações a um denominador comum
e1−ee
Escreva todos os numeradores acima do denominador comum
e1−e
n<e1−e
{n<−1n<e1−e{ln(n+1n)<0ln(n+1)+1>0
Resolva a desigualdade
Mais Passos
Calcule
ln(n+1n)<0
Para e>1 a expressa˜o ln(n+1n)<0 eˊ equivalente a n+1n<e0
n+1n<e0
Calcular a potência
n+1n<1
Calcular
n+1n−1<0
Calcular
Mais Passos
Calcular
n+1n−1
Reduza as frações a um denominador comum
n+1n−n+1n+1
Escreva todos os numeradores acima do denominador comum
n+1n−(n+1)
Subtraia os termos
n+1−1
Use b−a=−ba=−ba para reescrever a frac¸a˜o
−n+11
−n+11<0
Altere os sinais em ambos os lados da desigualdade e inverta o sinal de desigualdade
n+11>0
Reescrever a expressão
n+1>0
Mova a constante para o lado direito
n>0−1
Remover 0 não altera o valor, portanto, remova-o da expressão
n>−1
{n<−1n<e1−e{n>−1ln(n+1)+1>0
Resolva a desigualdade
Mais Passos
Calcule
ln(n+1)+1>0
Adicionar ou subtrair ambos os lados
ln(n+1)>0−1
Calcular
ln(n+1)>−1
Para e>1 a expressa˜o ln(n+1)>−1 eˊ equivalente a n+1>e−1
n+1>e−1
Calcular a potência
n+1>e1
Mova a constante para o lado direito
n>e1−1
Subtraia os números
Mais Passos
Calcule
e1−1
Reduza as frações a um denominador comum
e1−ee
Escreva todos os numeradores acima do denominador comum
e1−e
n>e1−e
{n<−1n<e1−e{n>−1n>e1−e
Encontre o cruzamento
n<−1{n>−1n>e1−e
Encontre o cruzamento
n<−1n>e1−e
Encontre a união dos conjuntos
n∈(−∞,−1)∪(e1−e,+∞)
Calcular
ln(n)+11
Calcular
ln(n+1)+11
A desigualdade é verdadeira
ln(n)+11>ln(n+1)+11
Solução
Converges
Mostrar solução
