Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một \left ( x + 1 \right ) \frac{dy}{dx} + 2 y = x

y=\frac{2x^{3}+3x^{2}+C}{6x^{2}+12x+6},C \in \mathbb{R}

Question :

( x + 1 ) fracdydx + 2 y = x

y = \frac{2 x ^{3} + 3 x ^{2} + C}{6 x ^{2} + 12 x + 6}, C \in R

Tính

(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = x

Nhân cả hai bên

((x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y) \times \frac{1}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Áp dụng thuộc tính phân phối

(x + 1) \frac{d y}{d x} \times \frac{1}{x + 1} + 2 y \times \frac{1}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Nhân các điều khoản

\frac{d y}{d x} + 2 y \times \frac{1}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Nhân các điều khoản

\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = x \times \frac{1}{x + 1}

Nhân các điều khoản

\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}

Viết lại biểu thức

\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} \times y = \frac{x}{x + 1}

V \overset{ı}{ˋ} ph ươ ng tr \overset{ı}{ˋ} nh đư ợc vi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} t ở dạng chuẩn, h \overset{a}{˜} y x \overset{a}{ˊ} c đ ịnh c \overset{a}{ˊ} c h \overset{a}{ˋ} m P (x) v \overset{a}{ˋ} Q (x)

P (x) = \frac{2}{x + 1} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Ch \overset{e}{ˋ} n h \overset{a}{ˋ} m P (x) = \frac{2}{x + 1} v \overset{a}{ˋ} o c \overset{o}{ˆ} ng thức cho hệ s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} t \overset{ı}{ˊ} ch ph \overset{a}{ˆ} n u (x)

u (x) = e^{\int \frac{2}{x + 1} d x} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Đánh giá tích phân

More Steps

u (x) = e^{2 l n (x + 1)} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Viết lại biểu thức

More Steps

u (x) = (x + 1)^{2} Q (x) = \frac{x}{x + 1}

Ch \overset{e}{ˋ} n hệ s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} t \overset{ı}{ˊ} ch ph \overset{a}{ˆ} n u (x) v \overset{a}{ˋ} h \overset{a}{ˋ} m Q (x) v \overset{a}{ˋ} o c \overset{o}{ˆ} ng thức nghiệm tổng qu \overset{a}{ˊ} t

y = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \times \int \frac{x}{x + 1} \times (x + 1)^{2} d x

Tính toán

More Steps

y = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \times (\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + C), C \in R

Tính toán

More Steps

y = \frac{2 x ^{3} + 3 x ^{2} + C}{6 ( x + 1 ) ^{2}}, C \in R

Solution

More Steps

y = \frac{2 x ^{3} + 3 x ^{2} + C}{6 x ^{2} + 12 x + 6}, C \in R

Show Solution