Solve (x^2 y^2-1)3=x^2y^3

Question

Solve the equation

x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y > 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y > 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0

Evaluate

(x^{2} y^{2} - 1) \times 3 = x^{2} y^{3}

Multiply the terms

3 (x^{2} y^{2} - 1) = x^{2} y^{3}

Rewrite the expression

3 (y^{2} x^{2} - 1) = y^{3} x^{2}

Expand the expression

More Steps

3 y^{2} x^{2} - 3 = y^{3} x^{2}

Move the expression to the left side

3 y^{2} x^{2} - 3 - y^{3} x^{2} = 0

Collect like terms by calculating the sum or difference of their coefficients

(3 y^{2} - y^{3}) x^{2} - 3 = 0

Move the constant to the right side

(3 y^{2} - y^{3}) x^{2} = 3

Divide both sides

\frac{( 3 y ^{2} - y ^{3} ) x ^{2}}{3 y ^{2} - y ^{3}} = \frac{3}{3 y ^{2} - y ^{3}}

Divide the numbers

x^{2} = \frac{3}{3 y ^{2} - y ^{3}}

Take the root of both sides of the equation and remember to use both positive and negative roots

x = \pm \frac{3}{3 y ^{2} - y ^{3}}

Simplify the expression

More Steps

x = \pm \frac{9 - 3 y}{∣ y ∣ ∣ 3 - y ∣}

Separate the equation into 2 possible cases

x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ∣ ∣ 3 - y ∣} x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ∣ ∣ 3 - y ∣}

Multiply the terms

x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ∣ ∣ 3 - y ∣}

Multiply the terms

x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}

Calculate

{x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} 0 < y < 3 {x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} y > 3 {x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} y < 0 {x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} 0 < y < 3 {x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} y > 3 {x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣} y < 0

Simplify

x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, 0 < y < 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y > 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y < 0 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0 x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, 0 < y < 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y > 3

Simplify

x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, 0 < y < 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y > 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y < 0 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0 x = \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y > 3

Simplify

x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, 0 < y < 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y > 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y < 0 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y > 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0

Simplify

x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, 0 < y < 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y > 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y > 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0

Simplify

x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ y ( 3 - y ) ∣}, y > 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y > 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0

Solution

x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y > 3 x = - \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, 0 < y < 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y > 3 x = \frac{9 - 3 y}{∣ 3 y - y ^{2} ∣}, y < 0

Show Solution

Testing for symmetry

Testing for symmetry about the origin

Testing for symmetry about the x-axis

Testing for symmetry about the y-axis

Not symmetry with respect to the origin

Show Solution

Find the first derivative

Find the derivative with respect to x

Find the derivative with respect to y

\frac{d y}{d x} = \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x}

Show Solution

Find the second derivative

Find the second derivative with respect to x

Find the second derivative with respect to y

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{72 x ^{2} - 108 x ^{2} y + 54 y ^{2} x ^{2} - 9 y ^{3} x ^{2}}

Calculate

(x^{2} y^{2} - 1) 3 = x^{2} y^{3}

Simplify the expression

3 (x^{2} y^{2} - 1) = x^{2} y^{3}

Take the derivative of both sides

\frac{d}{d x} (3 (x^{2} y^{2} - 1)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3})

Calculate the derivative

More Steps

3 (2 x y^{2} + 2 x^{2} y \frac{d y}{d x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3})

Calculate the derivative

More Steps

3 (2 x y^{2} + 2 x^{2} y \frac{d y}{d x}) = 2 x y^{3} + 3 x^{2} y^{2} \frac{d y}{d x}

Expand the expression

More Steps

6 x y^{2} + 6 x^{2} y \frac{d y}{d x} = 2 x y^{3} + 3 x^{2} y^{2} \frac{d y}{d x}

Move the expression to the left side

6 x y^{2} + 6 x^{2} y \frac{d y}{d x} - 3 x^{2} y^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y^{3}

Move the expression to the right side

6 x^{2} y \frac{d y}{d x} - 3 x^{2} y^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y^{3} - 6 x y^{2}

Collect like terms by calculating the sum or difference of their coefficients

(6 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 2 x y^{3} - 6 x y^{2}

Divide both sides

\frac{( 6 x ^{2} y - 3 x ^{2} y ^{2} ) \frac{d y}{d x}}{6 x ^{2} y - 3 x ^{2} y ^{2}} = \frac{2 x y ^{3} - 6 x y ^{2}}{6 x ^{2} y - 3 x ^{2} y ^{2}}

Divide the numbers

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y ^{3} - 6 x y ^{2}}{6 x ^{2} y - 3 x ^{2} y ^{2}}

Divide the numbers

More Steps

\frac{d y}{d x} = \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x}

Take the derivative of both sides

\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d}{d x} (\frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x})

Calculate the derivative

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x})

Use differentiation rules

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d x} ( 2 y ^{2} - 6 y ) \times ( 6 x - 3 y x ) - ( 2 y ^{2} - 6 y ) \times \frac{d}{d x} ( 6 x - 3 y x )}{( 6 x - 3 y x ) ^{2}}

Calculate the derivative

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( 4 y \frac{d y}{d x} - 6 \frac{d y}{d x} ) ( 6 x - 3 y x ) - ( 2 y ^{2} - 6 y ) \times \frac{d}{d x} ( 6 x - 3 y x )}{( 6 x - 3 y x ) ^{2}}

Calculate the derivative

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( 4 y \frac{d y}{d x} - 6 \frac{d y}{d x} ) ( 6 x - 3 y x ) - ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( 6 - 3 y - 3 x \frac{d y}{d x} )}{( 6 x - 3 y x ) ^{2}}

Calculate

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{42 y x \frac{d y}{d x} - 12 y ^{2} x \frac{d y}{d x} - 36 x \frac{d y}{d x} - ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( 6 - 3 y - 3 x \frac{d y}{d x} )}{( 6 x - 3 y x ) ^{2}}

Calculate

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{42 y x \frac{d y}{d x} - 12 y ^{2} x \frac{d y}{d x} - 36 x \frac{d y}{d x} - ( 30 y ^{2} - 36 y - 6 y ^{3} - 6 y ^{2} x \frac{d y}{d x} + 18 y x \frac{d y}{d x} )}{( 6 x - 3 y x ) ^{2}}

Calculate

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{24 y x \frac{d y}{d x} - 6 y ^{2} x \frac{d y}{d x} - 36 x \frac{d y}{d x} - 30 y ^{2} + 36 y + 6 y ^{3}}{( 6 x - 3 y x ) ^{2}}

Calculate

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{8 y x \frac{d y}{d x} - 2 y ^{2} x \frac{d y}{d x} - 12 x \frac{d y}{d x} - 10 y ^{2} + 12 y + 2 y ^{3}}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Use equation \frac{d y}{d x} = \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} to substitute

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{8 y x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 2 y ^{2} x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 12 x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 10 y ^{2} + 12 y + 2 y ^{3}}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Solution

More Steps

Calculate

\frac{8 y x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 2 y ^{2} x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 12 x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 10 y ^{2} + 12 y + 2 y ^{3}}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Multiply the terms

More Steps

\frac{\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - 2 y ^{2} x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 12 x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 10 y ^{2} + 12 y + 2 y ^{3}}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Multiply the terms

\frac{\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - 12 x \times \frac{2 y ^{2} - 6 y}{6 x - 3 y x} - 10 y ^{2} + 12 y + 2 y ^{3}}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Multiply the terms

\frac{\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y )}{2 - y} - 10 y ^{2} + 12 y + 2 y ^{3}}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Calculate the sum or difference

More Steps

Evaluate

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y )}{2 - y} - 10 y^{2} + 12 y + 2 y^{3}

Rewrite the fractions

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} + \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y )}{- 2 + y} - 10 y^{2} + 12 y + 2 y^{3}

Reduce fractions to a common denominator

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} + \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 )}{( - 2 + y ) ( - 3 )} - \frac{10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )} + \frac{12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )} + \frac{2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )}

Use the commutative property to reorder the terms

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} + \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 )}{- 3 ( - 2 + y )} - \frac{10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )} + \frac{12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )} + \frac{2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )}

Rewrite the expression

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} + \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 )}{- 3 ( - 2 + y )} - \frac{10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{- 3 ( y - 2 )} + \frac{12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )} + \frac{2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )}

Rewrite the expression

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} + \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 )}{- 3 ( - 2 + y )} - \frac{10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{- 3 ( y - 2 )} + \frac{12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{- 3 ( y - 2 )} + \frac{2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{3 ( - 1 ) ( y - 2 )}

Rewrite the expression

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} + \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 )}{- 3 ( - 2 + y )} - \frac{10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{- 3 ( y - 2 )} + \frac{12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{- 3 ( y - 2 )} + \frac{2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{- 3 ( y - 2 )}

Rewrite the expression

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} - \frac{2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y )}{6 - 3 y} + \frac{4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 )}{6 - 3 y} - \frac{10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y} + \frac{12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y} + \frac{2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y}

Write all numerators above the common denominator

\frac{8 y ( 2 y ^{2} - 6 y ) - 2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y ) + 4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 ) - 10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y}

Multiply the terms

\frac{16 y ^{3} - 48 y ^{2} - 2 y ^{2} ( 2 y ^{2} - 6 y ) + 4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 ) - 10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y}

Multiply the terms

\frac{16 y ^{3} - 48 y ^{2} - ( 4 y ^{4} - 12 y ^{3} ) + 4 ( 2 y ^{2} - 6 y ) ( - 3 ) - 10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y}

Multiply the terms

\frac{16 y ^{3} - 48 y ^{2} - ( 4 y ^{4} - 12 y ^{3} ) - 24 y ^{2} + 72 y - 10 y ^{2} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y}

Multiply the terms

\frac{16 y ^{3} - 48 y ^{2} - ( 4 y ^{4} - 12 y ^{3} ) - 24 y ^{2} + 72 y - ( - 30 y ^{3} + 60 y ^{2} ) + 12 y \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 ) + 2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y}

Multiply the terms

\frac{16 y ^{3} - 48 y ^{2} - ( 4 y ^{4} - 12 y ^{3} ) - 24 y ^{2} + 72 y - ( - 30 y ^{3} + 60 y ^{2} ) - 36 y ^{2} + 72 y + 2 y ^{3} \times 3 ( - 1 ) ( y - 2 )}{6 - 3 y}

Multiply the terms

\frac{16 y ^{3} - 48 y ^{2} - ( 4 y ^{4} - 12 y ^{3} ) - 24 y ^{2} + 72 y - ( - 30 y ^{3} + 60 y ^{2} ) - 36 y ^{2} + 72 y - 6 y ^{4} + 12 y ^{3}}{6 - 3 y}

Calculate the sum or difference

\frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{6 - 3 y}

\frac{\frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{6 - 3 y}}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Multiply by the reciprocal

\frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{6 - 3 y} \times \frac{1}{3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Multiply the terms

\frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{( 6 - 3 y ) \times 3 ( 2 x - y x ) ^{2}}

Use the commutative property to reorder the terms

\frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{3 ( 6 - 3 y ) ( 2 x - y x ) ^{2}}

Expand the expression

More Steps

\frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{72 x ^{2} - 108 x ^{2} y + 54 y ^{2} x ^{2} - 9 y ^{3} x ^{2}}

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{70 y ^{3} - 168 y ^{2} - 10 y ^{4} + 144 y}{72 x ^{2} - 108 x ^{2} y + 54 y ^{2} x ^{2} - 9 y ^{3} x ^{2}}

Show Solution