Solve 2x^2 y = x-2xy^6

Question

Solve the equation

x = 0 x = \frac{1 - 2 y ^{6}}{2 y}

Show Solution

Testing for symmetry

Testing for symmetry about the origin

Testing for symmetry about the x-axis

Testing for symmetry about the y-axis

Symmetry with respect to the origin

Show Solution

Find the first derivative

Find the derivative with respect to x

Find the derivative with respect to y

\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}}

Show Solution

Find the second derivative

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{84 y ^{5} x - 24 y ^{11} x - 136 x ^{2} y ^{6} - 12 y ^{10} + 84 y ^{16} + 12 x ^{3} y - 4 x ^{2} - 15 y ^{4}}{36 y ^{5} x ^{4} + 216 y ^{10} x ^{3} + 432 y ^{15} x ^{2} + 2 x ^{5}}

Calculate

2 x^{2} y = x - 2 x y^{6}

Take the derivative of both sides

\frac{d}{d x} (2 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (x - 2 x y^{6})

Calculate the derivative

More Steps

4 x y + 2 x^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (x - 2 x y^{6})

Calculate the derivative

More Steps

4 x y + 2 x^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 y^{6} - 12 x y^{5} \frac{d y}{d x}

Move the expression to the left side

4 x y + 2 x^{2} \frac{d y}{d x} + 12 x y^{5} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 y^{6}

Move the expression to the right side

2 x^{2} \frac{d y}{d x} + 12 x y^{5} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 y^{6} - 4 x y

Collect like terms by calculating the sum or difference of their coefficients

(2 x^{2} + 12 x y^{5}) \frac{d y}{d x} = 1 - 2 y^{6} - 4 x y

Divide both sides

\frac{( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) \frac{d y}{d x}}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} = \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}}

Divide the numbers

\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}}

Take the derivative of both sides

\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}})

Calculate the derivative

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}})

Use differentiation rules

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d x} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) - ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times \frac{d}{d x} ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} )}{( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) ^{2}}

Calculate the derivative

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( - 12 y ^{5} \frac{d y}{d x} - 4 y - 4 x \frac{d y}{d x} ) ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) - ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times \frac{d}{d x} ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} )}{( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) ^{2}}

Calculate the derivative

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( - 12 y ^{5} \frac{d y}{d x} - 4 y - 4 x \frac{d y}{d x} ) ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) - ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) ( 4 x + 12 y ^{5} + 60 x y ^{4} \frac{d y}{d x} )}{( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) ^{2}}

Calculate

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{- 72 y ^{5} x ^{2} \frac{d y}{d x} - 144 y ^{10} x \frac{d y}{d x} - 8 y x ^{2} - 48 y ^{6} x - 8 x ^{3} \frac{d y}{d x} - ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) ( 4 x + 12 y ^{5} + 60 x y ^{4} \frac{d y}{d x} )}{( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) ^{2}}

Calculate

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{- 72 y ^{5} x ^{2} \frac{d y}{d x} - 144 y ^{10} x \frac{d y}{d x} - 8 y x ^{2} - 48 y ^{6} x - 8 x ^{3} \frac{d y}{d x} - ( 4 x - 56 y ^{6} x - 16 x ^{2} y + 12 y ^{5} + 60 x y ^{4} \frac{d y}{d x} - 24 y ^{11} - 120 y ^{10} x \frac{d y}{d x} - 240 x ^{2} y ^{5} \frac{d y}{d x} )}{( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) ^{2}}

Calculate

More Steps

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{168 y ^{5} x ^{2} \frac{d y}{d x} - 24 y ^{10} x \frac{d y}{d x} + 8 y x ^{2} + 8 y ^{6} x - 8 x ^{3} \frac{d y}{d x} - 4 x - 12 y ^{5} - 60 x y ^{4} \frac{d y}{d x} + 24 y ^{11}}{( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) ^{2}}

Calculate

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{42 y ^{5} x ^{2} \frac{d y}{d x} - 6 y ^{10} x \frac{d y}{d x} + 2 y x ^{2} + 2 y ^{6} x - 2 x ^{3} \frac{d y}{d x} - x - 3 y ^{5} - 15 x y ^{4} \frac{d y}{d x} + 6 y ^{11}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Use equation \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} to substitute

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{42 y ^{5} x ^{2} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} - 6 y ^{10} x \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 2 y x ^{2} + 2 y ^{6} x - 2 x ^{3} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} - x - 3 y ^{5} - 15 x y ^{4} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 6 y ^{11}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Solution

More Steps

Calculate

\frac{42 y ^{5} x ^{2} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} - 6 y ^{10} x \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 2 y x ^{2} + 2 y ^{6} x - 2 x ^{3} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} - x - 3 y ^{5} - 15 x y ^{4} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 6 y ^{11}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Multiply the terms

More Steps

\frac{\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - 6 y ^{10} x \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 2 y x ^{2} + 2 y ^{6} x - 2 x ^{3} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} - x - 3 y ^{5} - 15 x y ^{4} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 6 y ^{11}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Multiply the terms

\frac{\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} + 2 y x ^{2} + 2 y ^{6} x - 2 x ^{3} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} - x - 3 y ^{5} - 15 x y ^{4} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 6 y ^{11}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Multiply the terms

\frac{\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} + 2 y x ^{2} + 2 y ^{6} x - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - x - 3 y ^{5} - 15 x y ^{4} \times \frac{1 - 2 y ^{6} - 4 x y}{2 x ^{2} + 12 x y ^{5}} + 6 y ^{11}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Multiply the terms

\frac{\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} + 2 y x ^{2} + 2 y ^{6} x - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - x - 3 y ^{5} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 x + 12 y ^{5}} + 6 y ^{11}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Calculate the sum or difference

More Steps

Evaluate

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} + 2 y x^{2} + 2 y^{6} x - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - x - 3 y^{5} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 x + 12 y ^{5}} + 6 y^{11}

Factor the expression

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} + 2 y x^{2} + 2 y^{6} x - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{x + 6 y ^{5}} - x - 3 y^{5} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + 6 y^{11}

Reduce fractions to a common denominator

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{( x + 6 y ^{5} ) \times 2} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{( x + 6 y ^{5} ) \times 2} + \frac{2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} + \frac{2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{( x + 6 y ^{5} ) \times 2} - \frac{x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + \frac{6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Use the commutative property to reorder the terms

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{( x + 6 y ^{5} ) \times 2} + \frac{2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} + \frac{2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{( x + 6 y ^{5} ) \times 2} - \frac{x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + \frac{6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Use the commutative property to reorder the terms

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( x + 6 y ^{5} )} + \frac{2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} + \frac{2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{( x + 6 y ^{5} ) \times 2} - \frac{x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + \frac{6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Use the commutative property to reorder the terms

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( x + 6 y ^{5} )} + \frac{2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} + \frac{2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( x + 6 y ^{5} )} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + \frac{6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Rewrite the expression

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( 6 y ^{5} + x )} - \frac{3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + \frac{2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + \frac{2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} - \frac{x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2}{2 ( 6 y ^{5} + x )} - \frac{x \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} - \frac{3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} - \frac{15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y )}{2 ( 6 y ^{5} + x )} + \frac{6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Write all numerators above the common denominator

\frac{21 y ^{5} x ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 - 3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 + 2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) + 2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 - x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - 3 y ^{10} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 + 2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) + 2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 - x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 2 y x ^{2} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) + 2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 - x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 4 x ^{3} y + 24 y ^{6} x ^{2} + 2 y ^{6} x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 - x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 4 x ^{3} y + 24 y ^{6} x ^{2} + 4 x ^{2} y ^{6} + 24 y ^{11} x - x ^{2} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) \times 2 - x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 4 x ^{3} y + 24 y ^{6} x ^{2} + 4 x ^{2} y ^{6} + 24 y ^{11} x - ( 2 x ^{2} - 4 x ^{2} y ^{6} - 8 x ^{3} y ) - x \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 4 x ^{3} y + 24 y ^{6} x ^{2} + 4 x ^{2} y ^{6} + 24 y ^{11} x - ( 2 x ^{2} - 4 x ^{2} y ^{6} - 8 x ^{3} y ) - ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) - 3 y ^{5} \times 2 ( x + 6 y ^{5} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 4 x ^{3} y + 24 y ^{6} x ^{2} + 4 x ^{2} y ^{6} + 24 y ^{11} x - ( 2 x ^{2} - 4 x ^{2} y ^{6} - 8 x ^{3} y ) - ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) - ( 6 x y ^{5} + 36 y ^{10} ) - 15 y ^{4} ( 1 - 2 y ^{6} - 4 x y ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 4 x ^{3} y + 24 y ^{6} x ^{2} + 4 x ^{2} y ^{6} + 24 y ^{11} x - ( 2 x ^{2} - 4 x ^{2} y ^{6} - 8 x ^{3} y ) - ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) - ( 6 x y ^{5} + 36 y ^{10} ) - ( 15 y ^{4} - 30 y ^{10} - 60 x y ^{5} ) + 6 y ^{11} \times 2 ( 6 y ^{5} + x )}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Multiply the terms

\frac{42 y ^{5} x - 84 y ^{11} x - 168 x ^{2} y ^{6} - ( 6 y ^{10} - 12 y ^{16} - 24 x y ^{11} ) + 4 x ^{3} y + 24 y ^{6} x ^{2} + 4 x ^{2} y ^{6} + 24 y ^{11} x - ( 2 x ^{2} - 4 x ^{2} y ^{6} - 8 x ^{3} y ) - ( 2 x ^{2} + 12 x y ^{5} ) - ( 6 x y ^{5} + 36 y ^{10} ) - ( 15 y ^{4} - 30 y ^{10} - 60 x y ^{5} ) + 72 y ^{16} + 12 x y ^{11}}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

Calculate the sum or difference

\frac{84 y ^{5} x - 24 y ^{11} x - 136 x ^{2} y ^{6} - 12 y ^{10} + 84 y ^{16} + 12 x ^{3} y - 4 x ^{2} - 15 y ^{4}}{2 ( 6 y ^{5} + x )}

\frac{\frac{84 y ^{5} x - 24 y ^{11} x - 136 x ^{2} y ^{6} - 12 y ^{10} + 84 y ^{16} + 12 x ^{3} y - 4 x ^{2} - 15 y ^{4}}{2 ( 6 y ^{5} + x )}}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Multiply by the reciprocal

\frac{84 y ^{5} x - 24 y ^{11} x - 136 x ^{2} y ^{6} - 12 y ^{10} + 84 y ^{16} + 12 x ^{3} y - 4 x ^{2} - 15 y ^{4}}{2 ( 6 y ^{5} + x )} \times \frac{1}{( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

Multiply the terms

\frac{84 y ^{5} x - 24 y ^{11} x - 136 x ^{2} y ^{6} - 12 y ^{10} + 84 y ^{16} + 12 x ^{3} y - 4 x ^{2} - 15 y ^{4}}{2 ( 6 y ^{5} + x ) ( x ^{2} + 6 x y ^{5} ) ^{2}}

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\frac{84 y ^{5} x - 24 y ^{11} x - 136 x ^{2} y ^{6} - 12 y ^{10} + 84 y ^{16} + 12 x ^{3} y - 4 x ^{2} - 15 y ^{4}}{36 y ^{5} x ^{4} + 216 y ^{10} x ^{3} + 432 y ^{15} x ^{2} + 2 x ^{5}}

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{84 y ^{5} x - 24 y ^{11} x - 136 x ^{2} y ^{6} - 12 y ^{10} + 84 y ^{16} + 12 x ^{3} y - 4 x ^{2} - 15 y ^{4}}{36 y ^{5} x ^{4} + 216 y ^{10} x ^{3} + 432 y ^{15} x ^{2} + 2 x ^{5}}

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